Boolovy algebry

Boolovy algebry

Shrnutí

booleovská algebra: algebraická struktura, která zachytává podstatné množinové a logické operace

definice: jde o uzavřený algebraický systém (B, +, *, -), kde B je množina prvků, které mohou nabývat výhradně hodnot 1 a 0, + je operace sčítání (OR), * je operace násobení (AND) a - je negace. O Booleovskou algebru jde však pouze při splnění následujících (a, b a c patří do B):

komutativnost: (a+b = b+a)

asociativita: a+(b+c) = (a+b)+c

distributivnost: (a+(b*c) = (a+b)*(a+c) a naopak)

komplementarita: a + -a = 1, a * -a = 0

absorbce: a+(a*b) = a, a*(a+b) = a

btw dost zdrojů uvádí axiomy a teoremy jinak, takže neříkat „je definována“, ale spíš „splňuje“

pak jsou další teorémy z těchto axiomů odvozené:

duální tvrzení: a+b = not(a) nand not(b) zkuste si to, fakt to tak je

dvojitá negace: --a = a

a+1 = 1

a*0 = 0

absorbce negace: a+(-a * b) = a+b, a*(-a+b) = a*b

sousednost: a*b + a*(-b) = a, (a+b) * (a+(-b)) = a

consensus: (a+b)*((-a)+c)*(b+c) = (a+b)*((-a)+c), a*b + (-a)*c + b*c = a*b + (-a)*c

ty poslední dva se používají v minimalizaci, takže jsou dost důležitý

de Morganovy zákony: -(a+b) = -a * -b, -(a*b) = -a + -b

zobrazení výrazů booleovy algebry: pravdivostní tabulky, vennovy diagramy

znát základní a odvodit NAND a NOR pravdivostní tabulky, umět pracovat s booleovskými výrazy