Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Funkce více proměnných

Je to funkce jako každá jiná, čili zobrazení (každá kombinace vstupních proměnných má nejvíce jednu funkční hodnotu). Nejčastěji se setkáme se dvěma proměnnými.

Grafem jsou pak ruzné „kopečky“ nebo „zohýbané roviny“ ve 3D. Graf je taky možné vyjádřit vrstevnicemi (množiny bodů se stejnou funkční hodnotou). Také je možné provést řez grafem, čímž dostaneme jednoduchý 2D graf.

Derivace

Formální definice: <m>f prime (x) = lim{h right 0}f_a_h_-_f_a_h</m>

Limita

Limita zde také funguje podobně jako u funkce jedné proměnné, jen je ε okolím kruh o poloměru ε. Princip limity je ten, že když vezmu funkční hodnoty po obvodu ε okolí (musí být co nejmenší), bude funkční hodnota někde v tomto rozsahu.

Limita nemusí existovat vždy! Jak to zjistím?

<m>lim{x right x_0}{(lim{y right y_0}{f(x, y)})} = lim{y right y_0}{(lim{x right x_0}{f(x, y)})}</m>

Pokud tato rovnost neplatí, funkce limitu určitě nemá. Pokud ale rovnost platí, může limitu mít!

Co dál?

Spojitost

Funkce je v bodě A spojítá pokud:

Je funkce v bodě A definována

Existuje v bodě A limita

Tato limita se rovná funkční hodnotě

Množina

Oblast je souvislá otevřená (tzn, okraj oblasti tam nepatří, jako u intervalů) množina. Každý bod množin v ní leží s jistým svým okolím. Dva body které v ní leží je možné spojit křivkou která v ní také leží. Libovolné 2 body v ní mají konečnou vzdálenost.

Pokud je v oblasti funkce, tak je touto oblastí ohraničená, nabývá v ní největší a nejmenší hodnoty a všech hodnot mezi nimi.

Parciální derivace

Prostě derivace funkce více proměnných ale jen podle jedné z těchto proměnných. Zbylé považujeme za konstanty.

Pokud tedy máme dvě proměnné, a zderivujeme nejdřív podle x a pak podle y. Z těchto hodnot složíme vektor, říkáme mu gradient.

Gradient udává směr ve které funkce v tomto bodě roste nejrychleji – je kolmý na vrstevnici.

Příklad

Vypočítejte parciální derivaci funkce <m>f(x,y,z) = xy^2+3x^3z+z^4+2xyz</m> podle všech proměnných, dále určete hodnotu <m>f prime_x (X_0), X_0=(3,0,-1)</m>.

Budeme postupně derivovat podle x, y a z. Zbylé dvě proměnné budeme považovat za konstanty.
<m>f prime_x = y^2+9x^2z+2yz</m>
<m>f prime_y = 2xy+2xz</m>
<m>f prime_z = 3x^3+4z^3+2xy</m>

Dosadíme dle zadání <m>f prime_x(3,0,-1) = -81</m> (když to dosadíte do té první rovnice, tak to fakt vyjde).

Integrály

Formálně: ∫f(x)dx = F(x) + c kde platí že F'(x) = f(x) a c je konstanta

<Pitel> http://www.stud.fit.vutbr.cz/~xkalab00/isz:funkce_vice_promennych#integraly a vite nekdo co napsat tady k tomu? <Presci> Pitel: k tem vice promennym snad co dela jednorozmerny integral (plocha), dvojrozmenrny integral (objem) a pak asi plynule prejit k tomu, ze analyticky se to resi na hovno a ze se to v kompech resi aproximaci a zacit o numerickych metodach