Metrické prostory

Metric space

Existuje metrika:

Musí vždy vyjít kladné číslo.

Pokud mají 2 body stejné souřadnice, musí vyjít 0.

Vzdálenost z bodu A do bodu B musí být stejná jako z bodu B do bodu A.

Trojúhelníková nerovnost.

Otevřená koule je množina všech bodů které jsou od středu v menší vzdálenosti než poloměr. Uzavřená koule pak obsahuje i tu „slupku“ kdy se vzdálensot rovná poloměru.

Příklady

Viz příklady na Wiki na začátku.

Konvergence posloupností

Limit (mathematics)

Posloupnost je obecně uspořádaná n-tice.

Posloupnost konverguje k nějakému bodu, pokud od nějakého prvku n-tice věchny další prvky mají k tomu bodu lesající (nebo aspoň stejnou) vzdálenost. Tomu bodu ke kterému konverguje říkáme limita.

Spojitá a izometrická zobrazení

Mějme dva metrické prostory M = (X, ρ) a M′ = (Y, ρ′) a zobrazení f: M → M′. Toto zobrazení je spojite v bodě x₀ ∈ X, pokud pro libovolné ε okolí lze najít δ okolí takové, že ρ′(f(x), f(x₀)) < ε pro všechny ρ < (x, x₀).

Zobrazení je spojíté pokud je spojité ve šech bodech.

Izometrické zobrazení je takové zobrazení, které zachovává vzdálenosti.

Úplnost

Úplný metrický prostor je takový metrický prostor, ve kterém Cauchyovské posloupnost konverguje.

Cauchyovské posloupnost je taková posloupnost, ve které vzdálenost mezi prvky klesá.

Banachova věta o pevném bodu

Každé kontraktivní zobrazení definované v úplném metrickém prostoru má právě jeden pevný bod.

Kontraktivní zobrazení je takové zobrazení vzdálenost obrazů je menší než vzdálenost vzorů.

Pevný bod zobrazení je takový bod, který se zobrazí sám na sebe: f(x) = x.